He dado con la solución, lo que pasa que con el botón estoy teniendo un problema.
Aquí el código:
Calendar cal = Calendar.getInstance();
    SimpleDateFormat sdf = new SimpleDateFormat("HH:mm:ss");
    try {
        DateFormat dateFormat = new SimpleDateFormat ("hh:mm:ss");
        String hora1 = "13:00:00";
        String hora2 = "16:00:00";
        String hora3 = "20:00:00";
        String hora4 = "23:59:00";
        String horaNueva = sdf.format(cal.getTime());
        Date date1, date2, date3, date4, dateNueva;
        date1 = dateFormat.parse(hora1);
        date2 = dateFormat.parse(hora2);
        date3 = dateFormat.parse(hora3);
        date4 = dateFormat.parse(hora4);
        dateNueva = dateFormat.parse(horaNueva);
        if ((date1.compareTo(dateNueva) <= 0) && (date2.compareTo(dateNueva) >= 0)){
            tramitarPedido.setEnabled(true);
            Log.d("debug","La hora " + horaNueva + " está entre " + hora1 + " y " + hora2);
        } else {
            tramitarPedido.setEnabled(false);
            Log.d("debug","La hora " + horaNueva + " no está entre " + hora1 + " y " + hora2);
        }
        if ((date3.compareTo(dateNueva) <= 0) && (date4.compareTo(dateNueva) >= 0)){
            tramitarPedido.setEnabled(true);
            Log.d("debug","La hora " + horaNueva + " está entre " + hora3 + " y " + hora4);
        }else{
            tramitarPedido.setEnabled(false);
            Log.d("debug","La hora " + horaNueva + " no está entre " + hora3 + " y " + hora4);
        }
    } catch (ParseException parseException){
        parseException.printStackTrace();
    }
El problema que estoy teniendo es que pasa por las dos sentencias if y si la primera es correcta y la segunda no me pone el botón a falso.
Pero así es como se comparan dos horas.
Gracias por la ayuda Yuki.